Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/206

aura ces deux équations

${\begin{aligned}{\frac {m(x+yy')-n(xy'-y)}{x^{2}+y^{2}}}=&{\frac {pp'+qq'}{p^{2}+q^{2}}},\\{\frac {n(x+yy')+m(xy'-y)}{x^{2}+y^{2}}}=&{\frac {pq'-qp'}{p^{2}+q^{2}}}.\end{aligned}}$

Qu’on prenne maintenant les fonctions primitives, on aura, en désignant par log les logarithmes hyperboliques et par arc\operatorname{tang}l’angle de la tangente,

${\begin{aligned}m\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-n\operatorname {arc\,tang} {\frac {y}{x}}=&\log {\sqrt {p^{2}+q^{2}}}+\mathrm {K} ,\\n\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+m\operatorname {arc\,tang} {\frac {y}{x}}=&\operatorname {arc\,tang} {\frac {q}{p}}+\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {K}$ et $\mathrm {H}$ étant deux constantes arbitraires qu’il s’agit de déterminez conformément à l’équation primitive donnée. Or, en faisant dans cette équation $y=0$ et $x=1,$ on a $q=0$ et $p=1,$ et ces suppositions, étant introduites dans les équations précédentes, donnent $\mathrm {K} =0$ et $\mathrm {H} =0.$

Si donc on fait pour plus de simplicité $x=u\cos z,$ $y=u\sin z,$ ce qui donne

$u={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \operatorname {tang} z={\frac {y}{x}},$

et ensuite

$p=r\cos s,\quad q=r\sin s,$

on aura

${\begin{aligned}\log r=&m\log u-nz,\\s=&n\ \log u+mz,\end{aligned}}$

et, en repassant des logarithmes aux nombres,

$r=u^{m}e^{-nz},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.

Ainsi $r$ et $s,$ et par conséquent $p$ et $q,$ seront des fonctions réelles, en supposant $x,y,m,n$ des quantités réelles.