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4. On peut, par ces formules, réduire à une forme réelle l’expression des racines des équations du troisième degré dans le cas irréductible ; car, l’expression générale de $x$ dans l’équation

$x^{3}-3\mathrm {M} x-2\mathrm {N} =0$

étant, comme l’on sait,

$\mathrm {{\sqrt[{3}]{N+{\sqrt {N^{2}-M^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{N-{\sqrt {N^{2}-M^{3}}}}}} ,$

laquelle, dans le cas irréductible où $\mathrm {M^{3}>N^{2}} ,$ devient

$\mathrm {{\sqrt[{3}]{N+{\sqrt {M^{3}-N^{2}}}{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{N-{\sqrt {M^{3}-N^{2}}}{\sqrt {-1}}}}} ,$

si l’on fait dans les formules précédentes

$x=\mathrm {N} ,\quad y=\mathrm {\sqrt {M^{3}-N^{2}}} ,\quad m={\frac {1}{3}},\quad n=0,$

on aura

$u={\sqrt {\mathrm {M} ^{3}}},\quad \operatorname {tang} z=\mathrm {\frac {\sqrt {M^{3}-N^{2}}}{N}} ,$

et de là

$r=u^{\frac {1}{3}}={\sqrt {\mathrm {M} }},\quad s={\frac {z}{3}}\,;$

donc on aura

$\mathrm {\sqrt {N\pm {\sqrt {M^{3}-N^{2}}}{\sqrt {-1}}}} ={\sqrt {\mathrm {M} }}\left(\cos {\frac {z}{3}}\pm \sin {\frac {z}{3}}{\sqrt {-1}}\right),$

et la somme des deux radicaux sera $2{\sqrt {\mathrm {M} }}\cos {\frac {z}{3}}.$

Or, comme à la même tangente $\mathrm {\frac {\sqrt {M^{3}-N^{2}}}{N}}$ répondent les angles $z,\ z+2\Delta ,\ z+4\Delta ,$ $\Delta$ étant l’angle droit, l’expression $2{\sqrt {\mathrm {M} }}\cos {\frac {z}{3}}.$ aura ces trois valeurs différentes

$2{\sqrt {\mathrm {M} }}\cos {\frac {z}{3}},\quad 2{\sqrt {\mathrm {M} }}\cos \left({\frac {z}{3}}+{\frac {2\Delta }{3}}\right),\quad 2{\sqrt {\mathrm {M} }}\cos \left({\frac {z}{3}}+{\frac {3\Delta }{3}}\right),$

qui seront les trois racines de l’équation proposée, et qu’on trouvera ainsi facilement par les Tables trigonométriques.