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5. Au reste, il est bon de remarquer que, lorsqu’il ne s’agit que de radicaux pairs, on peut faire la réduction dont il s’agit par les simples opérations de l’Algèbre ordinaire. En effet, soit la quantité

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}$

à réduire ; je considère la quantité

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}}=u\,;$

j’aurai, en élevant au carré,

$2a+2{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=u^{2},$

quantité toujours nécessairement positive en prenant le radical positivement ; donc $u$ sera une quantité réelle.

Je considère ensuite la quantité

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}-{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}}=t\,;$

je trouve de même, en carrant,

$2a-2{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=t^{2},$

quantité essentiellement négative ; ainsi l’on aura

$t^{2}=-\mathrm {V} ^{2}\quad {\text{et}}\quad t=\mathrm {V} {\sqrt {-1}},$

$\mathrm {V}$ étant une quantité réelle ; de là on aura

${\sqrt {a\pm b{\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2}}\left(u\pm \mathrm {V} {\sqrt {-1}}\right).$

Considérons de même la quantité

${\sqrt[{4}]{a+b{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{4}]{a-b{\sqrt {-1}}}}=s\,;$

on aura, en carrant,

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}+2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}+{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}}=s^{2}=u+2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}},$