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quantité essentiellement positive, en prenant le radical positivement ; donc $s$ sera une quantité réelle.

Considérons ensuite la quantité

${\sqrt[{4}]{a+b{\sqrt {-1}}}}-{\sqrt[{4}]{a-b{\sqrt {-1}}}}=r\,;$

on aura de la même manière

${\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}-2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}+{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}}=r^{2}=u-2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}},$

quantité essentielleiient négative, car

$u^{2}=2a+2{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}<4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

et par conséquent

$u<2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}.$

Donc, faisant $r^{2}=-\mathrm {S} ^{2},$ on aura

$r=\mathrm {S} {\sqrt {-1}},$

$\mathrm {S}$ étant une quantité réelle ; donc

${\sqrt[{4}]{a\pm b{\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2}}\left(s\pm \mathrm {S} {\sqrt {-1}}\right).$

et ainsi de suite.

6. Ces réductions supposées, d’Alembert considère une courbe quelconque, dont l’ordonnée $y$ soit nulle ou infinie lorsque l’abscisse $x$ est nulle, et il observe que, quelle que puisse être l’équation de la courbe, on peut toujours, lorsque $x$ est très-petit, avoir la valeur de $y$ en $x,$ au moyen du parallélogramme de Newton, exprimée par une série très-convergente de la forme

$y=ax^{\frac {m}{n}}+bx^{\frac {r}{s}}+cx^{\frac {t}{u}}+\ldots ,$

dans laquelle les exposants de $x$ sont imaginés aller en augmentant, et dont on peut toujours supposer que tous les termes sont réels, en fai-