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et par conséquent

$y=b+\alpha -\delta +(\beta +c+\gamma ){\sqrt {-1}},$

c’est-à-dire de la même forme $p+q{\sqrt {-1}}.$

Donc $a$ n’est pas, comme on l’a supposé, la plus grande valeur de $x$ qui donne $y$ de cette forme ; donc la valeur de $y$, lorsqu’elle est imaginaire, sera toujours de cette même forme, quelle que soit la valeur de $x$.

Cette conclusion générale s’applique naturellement aux équations d’un degré quelconque, à une seule inconnue, car, nommant $y$ l’inconnue de l’équation et supposant le dernier terme égal à $x,$ on aura une équation entre $x$ et $y,$ dans laquelle $x=0$ donnera $y=0,$ et qui sera susceptible de la démonstration précédente. Donc, quelle que soit la valeur du dernier terme $x,$ celle de $y,$ si elle devient imaginaire, sera de la forme $p+q{\sqrt {-1}}.$

L’équation ayant ainsi une racine imaginaire de cette forme en aura nécessairement une autre de la forme $p-q{\sqrt {-1}},$ puisque le calcul est le même pour les deux racines, à cause de l’ambiguïté du radical ${\sqrt {-1}}\,;$ elle aura donc les deux facteurs

$y-p-q{\sqrt {-1}},\quad y-p+q{\sqrt {-1}},$

qui forment le facteur double réel

$y^{2}-2py+p^{2}+q^{2},$

et sera par conséquent divisible par ce facteur, ce qui l’abaissera à un degré moindre de deux unités, et l’on pourra appliquer à cette nouvelle équation les mêmes raisonnements et les mêmes conclusions, et ainsi de suite.

7. Cette démonstration est incomplète, car, quoique dans une équation à deux indéterminées on puisse toujours exprimer l’une des indéterminées par une série de puissances ascendantes de l’autre indéterminée, il peut arriver que les coefficients des termes de la série