dépendent eux-mêmes d’équations qui n’aient point de racines réelles, ce qui introduirait dans la série d’autres imaginaires que celles qui viennent des puissances de l’indéterminée. Maison peut, sur les mêmes principes, fonder une, démonstration plus rigoureuse, et en même temps plus générale et plus simple, de la manière suivante.
Soit l’équation
que nous représenterons, pour plus de simplicité, par
étant une fonction rationnelle et entière de qui contient dans tous ses termes. Nous supposerons que cette équation n’ait point de racines réelles, parce que, si elle en a, on peut les éliminer en divisant l’équation par les facteurs simples réels qui résultent de ces racines.
Il est clair que, si l’équation proposée n’a pas de racines réelles dans l’état où elle est, c’est-à-dire tant que ses coefficients ont les valeurs données, elle peut en recevoir en changeant seulement la valeur du dernier terme car, en prenant une quantité quelconque et faisant l’équation
aura la racine réelle Considérons donc une des racines imaginaires de l’équation
laquelle devienne réelle en faisant varier la valeur de et supposons qu’elle ne demeure imaginaire que tant que la valeur de sera entre les limites et étant de manière que ait une valeur réelle dans l’équation
et une valeur réelle dans l’équation
et que cette racine soit imaginaire dans les équations
