Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/213

$i$ étant une quantité quelconque positive, aussi petite qu’on voudra. Soit $\alpha +u$ la valeur imaginaire de $x$ dans l’équation

$f(x)+a+i=0\,;$

la fonction $f(x)$ deviendra, par la substitution de $\alpha +u$ à la place de $x,$

$f(\alpha )+uf'(\alpha )+{\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+\ldots ,$

par la formule connue du développement des fonctions ; mais, puisque $\alpha$ est la racine de l’équation

$f(x)+a=0,$

on a $f(wa)+a=0,$ donc $a=-f(wa)\,;$ ainsi l’équation

$f(x)+a+i=0$

deviendra

$uf'(\alpha )+{\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+\ldots +i=0.$

Or, si le coefficient $f'(\alpha )$ n’est pas nul, il est évident qu’en supposant $i$ une quantité très-petite, à volonté, on pourra toujours avoir $u$ par une série très-convergente et toute réelle, car on aura d’abord

$u=-{\frac {i}{f'(\alpha )}}\,;$

ensuite, en substituant cette première valeur de $u,$ on aura

$u=-{\frac {i}{f'(\alpha )}}-{\frac {i^{2}f''(\alpha )}{2f'(\alpha ^{2})}},$

et ainsi de suite. Donc $u$ sera une quantité réelle, contre l’hypothèse.

Il faudra donc, pour que $u$ devienne imaginaire, que l’on ait $f(\alpha )=0\,;$ alors l’équation deviendra

${\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+{\frac {u^{3}}{2.3}}f'''(\alpha )+\ldots +i=0,$

et la première valeur approchée de $u$ sera

${\sqrt {-{\frac {2i}{f''(\alpha )}}}},$