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laquelle sera réelle ou imaginaire, suivant que $f''(\alpha )$ sera une quantité négative ou positive, puisque $i$ est supposée positive.

Si le premier terme de $u$ est réel, il est aisé de voir que tous les autres le seront aussi ; par conséquent, toute la valeur de $u$ sera réelle. Si le coefficient $f''(\alpha )$ est positif, le premier terme de $u$ sera imaginaire de la forme

${\sqrt {\frac {2i}{f''(\alpha )}}}{\sqrt {-1}},$

et les termes suivants seront réels ou imaginaires de la même forme, de sorte que toute la valeur de $u$ sera de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ $p$ et $q$ étant réelles.

Mais, si l’on avait en même temps $f''(\alpha )=0,$ alors, l’équation devenant

${\frac {u^{3}}{2.3}}f'''(\alpha )+{\frac {u^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(\alpha )+\ldots +i=0,$

il est aisé de voir que la valeur de $u$ serait de nouveau réelle, à moins que le terme qui contient $u^{3}$ ne disparaisse et que $f^{\text{ıv}}(\alpha )$ ne soit positif, car, dans ce cas, on aurait

$u={\sqrt[{4}]{\frac {2.3.4i}{f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(\alpha )}}}{\sqrt[{4}]{-1}}\,;$

mais, par le théorème démontré plus haut (n^o 5), ${\sqrt[{4}]{-1}}$ est réductible à la forme $m+n{\sqrt {-1}},$ $m$ et $n$ étant des quantités réelles ; donc la première valeur approchée de $u$ sera de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ et les termes suivants seront aussi de la même forme, en sorte que toute la valeur de $u$ sera encore de cette forme, et ainsi de suite.

8. Il résulte de là cette conclusion que, lorsqu’une racine $\alpha$ de l’équation

$f(x)+a=0$

est dans le passage du réel à l’imaginaire, on a non-seulement $f(\alpha )+a=0,$ mais encore $f'(\alpha )=0$ et $f''(\alpha )>0,$ et que, si $f''(\alpha )=0,$ on aura de plus $f'''(\alpha )=0$ et $f^{\text{ıv}}(\alpha )>0,$ et ainsi de suite. Or, en