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faisant $f(x)+a=\operatorname {F} (x),$ on a

$f'(x)=\operatorname {F} '(x),\quad f''(x)=\operatorname {F} ''(x),\quad \ldots \,;$

donc, par ce qu’on a vu dans la Note précédente (n^o 4), $f'(\alpha )=0$ sera la condition pour que la racine $\alpha$ de l’équation

$f(x)+a=0$

soit double, $f''(\alpha )=0$ sera la condition pour que cette racine soit triple, etc.

D’où il s’ensuit qu’une racine ne peut passer du réel à l’imaginaire sans devenir double ou quadruple, et, en général, multiple d’un ordre pair.

On prouvera de la même manière, en faisant $x=\beta +u$ dans l’équation

$f(x)+b-i=0,$

que la valeur de $u$ ne pourra devenir imaginaire, à moins que l’on n’ait $f'(\beta )=0$ et $f''(\beta )<0,$ et, si $f''(\beta )=0,$ il faudra de plus que l’on ait $f'''(\beta )=0$ et $f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(\beta )<0,$ et ainsi de suite ; d’où l’on conclura que, dans le passage de l’imaginaire au réel, la racine devient aussi double, ou quadruple, ou etc.

Cette proposition n’avait été démontrée jusqu’ici que par la théorie des courbes, ou comme une suite du théorème sur la forme des racines imaginaires.

9. Maintenant, puisque, quand la valeur de $\mathrm {V}$ est très-près des limites $a$ et $b,$ une des racines imaginaires de l’équation

$f(x)+\mathrm {V} =0$

est nécessairement de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ si cette racine n’est pas toujours de la même forme pour toutes les valeurs de $\mathrm {V}$ comprises entre ces limites, soit $c$ la plus grande valeur de $\mathrm {V}$ pour laquelle $x$ sera de cette forme, de manière que dans l’équation

$f(x)+c=0$

on ait $x=m+n{\sqrt {-1}},$ $m$ et $n$ étant des quantités réelles, et soit