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$m+n{\sqrt {-1}}+u$ la valeur de $x$ lorsque $\mathrm {V}$ sera $c+i,$ $i$ étant une quandtité positive et très-petite à volonté. On aura donc

$f\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+c=0,\quad {\text{et}}\quad f\left(m+n{\sqrt {-1}}+u\right)+c+i=0\,;$

développant la valeur de $u$ dans la seconde équation et retranchant la première, on aura

$uf'\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+{\frac {u^{2}}{2}}f''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+\ldots +i=0.$

Mais les fonctions dérivées

$f'\left(m+n{\sqrt {-1}}\right),\quad f''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right),\quad \ldots ,$

ne contenant que des puissances de $m+n{\sqrt {-1}},$ sont toutes réductibles à la forme $p+q{\sqrt {-1}}\,;$ ainsi, en prenant des quantités réelles $\mathrm {M,N,P,Q} ,\ldots ,$ l’équation précédente deviendra

$u\mathrm {\left(M+N{\sqrt {-1}}\right)} +{\frac {u^{2}}{2}}\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {-1}}\right)} +\ldots +i=0.$

Donc la première valeur approchée de $u$ sera

$-{\frac {i}{\mathrm {M+N{\sqrt {-1}}} }}=-{\frac {i\mathrm {\left(M-N{\sqrt {-1}}\right)} }{\mathrm {M^{2}+N^{2}} }},$

et par conséquent de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ et l’on trouvera que tous les termes suivants de la série, qu’on peut rendre aussi convergente que l’on veut en prenant $i$ très-petite à volonté, seront aussi de la même forme, de sorte que la série entière le sera aussi. On aura donc, pour une valeur de $i$ aussi petite qu’on voudra,

$u=r+s{\sqrt {-1}}\,;$

donc la valeur de $x$ sera

$m+r+(n+s){\sqrt {-1}},$

et par conséquent encore de la même forme $p+q{\sqrt {-1}},$ contre l’hypothèse. Donc il n’y a aucune valeur de $\mathrm {V}$ intermédiaire entre les limites $a$ et $b$ pour laquelle la racine $x$ ne soit pas de cette même forme.