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Si la fonction $f'\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)$ devenait nulle, alors l’équation en $u$ serait

${\frac {u^{2}}{2}}f''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+{\frac {u^{3}}{2.3}}f'''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+\ldots +i=0,$

et l’on prouverait de même que la valeur de $u$ serait toujours de la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite.

Cette démonstration a l’avantage de pouvoir s’appliquer également aux équations qui renfermeraient des fonctions logarithmiques ou circulaires, et, en général, à toute équation de la forme $\operatorname {F} (x)=0,$ dans laquelle la fonction dérivée $\operatorname {F} '(x)$ sera réductible à la forme $p+q{\sqrt {-1}},$ en faisant $x=m+n{\sqrt {-1}},$ car alors toutes les autres fonctions dérivées $\operatorname {F} ''(x),$$\operatorname {F} '''(x),\ldots$ seront aussi réductibles à la même forme ; mais ce détail nous écarterait trop de notre objet.

10. Nous venons de démontrer que, dans les équations qui n’ont que des racines imaginaires, il y en a au moins deux de la forme $p\pm q{\sqrt {-1}}\,;$ on pourra donc trouver les valeurs de $p$ et $q$ par la méthode du Chapitre II (n^o 17), et l’équation sera divisible par

$x^{2}-2px+p^{2}+q^{2}=0\,;$

après la division, elle ne contiendra plus que les autres racines imaginaires, et, en y appliquant les mêmes raisonnements, on prouvera de même que deux de ces racines seront nécessairement de la forme $p\pm q{\sqrt {-1}},$ et ainsi de suite.

Quoique la démonstration précédente soit suffisante pour prouver la vérité de la proposition dont il s’agit, on ne peut disconvenir qu’elle ne soit indirecte et qu’elle ne laisse encore à désirer une démonstration tirée uniquement des principes de la chose. En effet, nous avons déjà observé que toute racine imaginaire de la forme $p+q{\sqrt {-1}}$ suppose le facteur réel du second degré

$x^{2}-2px+p^{2}+q^{2}\,;$

ainsi la question se réduit à prouver que toute équation est toujours