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divisible par des facteurs réels du premier et du second degré, et, comme les équations d’un degré impair ont toujours une racine réelle et sont, par conséquent, divisibles par un facteur réel du premier degré, ce qui les rabaisse à un degré moindre d’une usité, il s’ensuit qu’il suffit de considérer les équations des degrés pairs.

11. Descartes a trouvé que l’équation du quatrième degré

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0$

a ces deux facteurs du second degré

$x^{2}\pm yx+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {1}{2}}p\mp {\frac {q}{2y}}=0,$

la quantité $y$ étant donnée par l’équation

$y^{6}+2py^{4}+\left(p^{2}-4r\right)y^{2}-q^{2}=0.$

Donc, comme cette équation a son dernier terme négatif, elle a toujours nécessairement une racine réelle (Chap. I, n^o 3) ; par conséquent, les deux facteurs seront réels en employant cette racine.

Hudde a considéré ensuite l’équation générale du sixième degré dans son Traité De reductione æquationum, imprimé à la suite du Commentaire de Schooten sur la Géométrie de Descartes, et il a trouvé que cette équation est divisible par une équation du second degré, comme

$x^{2}-yx+u=0,$

dans laquelle le coefficient $y$ est donné par une équation du quinzième degré et le coefficient $u$ est une fonction rationnelle de $y.$ Or, l’équation du quinzième degré ayant nécessairement une racine réelle, il s’ensuit que le diviseur du second-degré pourra toujours êire réel en employant cette racine, de sorte que, l’équation se trouvait ensuite abaissée au quatrième degré, on aura encore deux autres diviseurs réels.

Hudde n’a pas été plus loin, et, comme il n’avait trouvé l’équation en $y$ du quinzième degré qu’en faisant le calcul tout au long, il a dû