nelles de celui-ci, et ensuite on trouve, par les substitutions, une équation où il n’y a plus que celui-ci d’inconnue et où l’inconnue monte au degré
comme on l’a dit plus haut.
15. Mais, s’il arrive que cette équation ait deux ou plusieurs racines égales, alors, à moins que les valeurs des autres coefficients qui répondent à ces racines égales ne soient aussi égales, ce qui n’a-lieu que lorsque le diviseur est lui-même un diviseur double ou triple, etc., il est visible que ces valeurs ne peuvent plus être exprimées en fonctions rationnelles de ces mêmes racines, mais qu’elles doivent dépendre elles-mêmes d’équations du second, du troisième degré, etc., suivant le degré d’égalité des racines. Dans ce cas, en substituant dans les fonctions rationnelles trouvées une des racines égales, les fonctions deviendront indéterminées par l’évanouissement simultané du numérateur et du dénominateur, et, en revenant sur les éliminations, on se trouvera arrêté à une équation du second ou du troisième degré, etc., parce que l’équation à laquelle il faudrait la comparer pour l’abaisser à un degré moindre sera identique avec elle. C’est de quoi l’on peut se convaincre par le calcul, et nous en donnerons dans la Note suivante une démonstration générale. Comme la même difficulté peut se présenter dans toutes les éliminations, je suis bien aise d’appeler l’attention du lecteur sur ce point, pour qu’il ne se trouve point embarrassé dans l’occasion.
On voit que cette circonstance peut mettre en défaut la théorie que nous venons d’exposer sur les diviseurs du second degré, car, lorsque l’équation d’où dépend un des coefficients a des racines égales, l’autre coefficient, en employant ces racines, dépendra d’une équation d’un degré égal au nombre des racines égales, et qui par conséquent, si elle n’est pas d’un degré impair, demandera de nouvelles combinaisons pour pouvoir s’assurer qu’elle a une racine réelle de la forme
