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$p+q{\sqrt {-1}}\,;$ et, si l’on ne voulait pas employer ces racines égales, alors, en les éliminant par la division, on aurait une équation d’un degré moindre, à la vérité, mais qui ne serait plus exprimée par un nombre de la même forme $2^{m-1}\varpi$ ou $2^{m-2}\rho ,$ etc.

Si l’on considère, par exemple, la formule trouvée par Descartes, pour la résolution des équations du quatrième degré, que nous avons rapportée ci-dessus, et d’après laquelle nous avons conclu tout de suite que l’équation est toujours décomposable en deux facteurs réels du second degré, on voit qu’il y a néanmoins un cas qui échappe à cette conclusion c’est celui où l’on aurait $q=0,$ car alors la réduite en $y$ a deux racines égales $y=0,$ et, en employant ces racines, le terme ${\frac {q}{2y}}$ du facteur du second degré devient ${\frac {0}{0}}.$

On pourrait employer d’autres racines ; mais l’équation en $y,$ étant divisée par $y^{2},$ devient

$y^{4}+2py^{2}+p^{2}-4r=0,$

laquelle étant de nouveau du quatrième degré, et son dernier terme n’étant pas essentiellement négatif, la difficulté est ramenée au même point. Ce n’est pas que dans ce cas particulier on ne puisse prouver, par ces formules mêmes, la réalité des deux facteurs ; car, si $p^{2}<4r,$ le dernier terme de l’équation en $y$ sera négatif, et par conséquent il y aura deux racines réelles. Si $p^{2}>4r,$ alors l’équation proposée, devenant, à cause de $q=0,$

$x^{4}+p^{2}x^{2}+4r=0,$

aura les deux facteurs réels

$x^{2}+{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-r}}.$

16. Ces difficultés ont occasionné les recherches que j’ai données sur cette matière à l’Académie de Berlin en 1772, et dans lesquelles je me suis particulièrement attaché à compléter la théorie commencée par Euler^[1].

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 479.