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J’ai démontré d’une manière rigoureuse que, si l’on veut décomposer un polynôme du degré $2^{m}$ en deux polynômes du degré $2^{m-1},$ tels que ${\bigl (}n{\bigr .}$ étant ${\bigl .}=2^{m-1}{\bigr )}$

${\begin{aligned}&x^{n}+\mathrm {M} \ \,x^{n-1}+\mathrm {N} \ \,x^{n-2}+\mathrm {P} \ \,x^{n-3}+\ldots ,\\&x^{n}+\mathrm {M} _{1}x^{n-1}+\mathrm {N} _{1}x^{n-2}+\mathrm {P} _{1}x^{n-3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et qu’on fasse

$u=a(\mathrm {M-M_{1}} )+b(\mathrm {N-N_{1}} )+c(\mathrm {P-P_{1}} )+\ldots ,$

$a,b,c,$ étant des quantités quelconques, on pourra déterminer généralement les coefficients $\mathrm {M,N,P} ,\ldots ,$ $\mathrm {M_{1},N_{1},P_{1}} ,\ldots$ des deux polynômes par des fonctions rationnelles de $u,$ et que l’on trouvera pour $u$ une équation d’un degré impairement pair, n’ayant que des puissances paires de $u,$ dont le dernier terme sera essentiellement négatif ; et, à cause des arbitraires $a,b,c,\ldots ,$, on pourra toujours faire en sorte que le dernier terme de cette équation ne soit pas nul, ce qui lui donnerait les deux racines égales $u=0,$ ni qu’elle ait d’autres racines égales. De sorte qu’on sera toujours assuré d’avoir par là des valeurs réelles pour les coefficients dont il s’agit, et par conséquent de pouvoir décomposer l’équation du degré $2^{m}$ en deux du degré $2^{m-1},$ et ensuite chacune de celles-ci en deux du degré $2^{m-2},$ et ainsi de suite, jusqu’aux équations du second degré.

À l’égard des équations du degré $2^{m}i,$ $i$ étant un nombre impair, Euler avait trouvé qu’en employant un diviseur du degré $2^{m}$ on tombe dans une équation d’un degré impair pour la détermination d’un quelconque de ses coefficients, et j’ai remarqué que, si elle a des racines égales, les racines doubles, quadruples, etc. pourront être éliminées, parçe que l’équation restante sera encore d’un degré impair, et que les racines triples, quintuples, etc. pourront être employées dans la détermination des autres coefficients, parce qu’elle dépendra alors d’équations du troisième, du cinquième degré, etc., qui auront, par conséquent, toujours des racines réelles.