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17. De cette manière, la décomposition des équations en diviseurs réels du premier et du second degré était rigoureusement démontrée mais Laplace a donné depuis, dans les Leçons de l’École Normale, un moyen plus simple d’établir cette vérité, en partant de l’analyse employée par Foncenex. Au lieu de considérer simplement l’équation qui détermine le coefficient $u$ du diviseur quadratique

$x^{2}-ux+\mathrm {U} =0,$

il considère l’équation qui détermine la quantité $u+a\mathrm {U} ,$ que je désignerai par $u_{1},$ $a$ étant un coefficient quelconque. Cette équation sera, par la théorie des combinaisons, du même degré que l’équation en $u.$ Donc, si l’équation proposée est du degré $2\nu \,;$ $\nu$ étant impair, l’équation en $u_{1}$ sera d’un degré impair et aura toujours une racine réelle, et, comme on peut donner à $a$ une infinité de valeurs, on aura une infinité d’équations qui auront toutes une racine réelle. Parmi ces racines, il y en aura nécessairement plusieurs qui se rapporteront au même diviseur. Soient $\alpha ,\beta$ deux de ces racines, et $a,b$ les deux valeurs du coefficient $a\,;$ on aura

$u+a\mathrm {U} =\alpha ,\quad u+b\mathrm {U} =\beta ,$

d’où l’on tirera les valeurs de $u$ et $\mathrm {U} ,$ qui seront par conséquent réelles.

Si l’équation proposée est du degré $4\nu ,$ $\nu$ étant un nombre impair quelconque, l’équation en $u_{1}$ sera du degré $2\varpi ,$ $\varpi$ étant aussi un nombre impair. Cette équation aura donc, par ce qu’on vient de démontrer, un diviseur quadratique réel de la forme

$u_{1}^{2}-tu_{1}+\mathrm {T} =0,$

qui donnera pour $u_{1}$ une valeur de la forme $\alpha +\mathrm {A} {\sqrt {-1}},$ et, en donnant à $a$ une infinité de valeurs, on aura une infinité d’équations en $u_{1}$ dont chacune aura une racine de la forme $\alpha +\mathrm {A} {\sqrt {-1}}\,;$ parmi ces racines, il y en aura nécessairement deux qui se rapporteront au même divi-