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NOTE X.

SUR LA DÉCOMPOSITION DES POLYNÔMES D’UN DEGRÉ QUELCONQUE
EN FACTEURS RÉELS.

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1. Je me propose de montrer dans cette Note comment tout polynôme d’un degré quelconque peut toujours se résoudre en polynômes réels du premier ou du second degré. En regardant un polynôme comme composé d’autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant de la plus haute puissance de l’indéterminée, on voit clairement qu’il ne peut avoir pour diviseurs que des polynômes composés de quelques-uns de ses facteurs ; d’où il suit d’abord que, si $m$ est le degré du polynôme donné, il pourra avoir autant de diviseurs différents du degré $n$ qu’il y a de manières de prendre n choses sur $m$ choses, c’est-à-dire, par la théorie des combinaisons, qu’il y a d’unités dans le nombre

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-n+1)}{1.2.3\ldots n}},$

que nous désignerons par $\mu$ dans la suite.

Cette seule considération nous met en état de déterminer a priori les coefficients du polynôme diviseur sans passer par les opérations longues et pénibles de la méthode ordinaire, fondée sur la division ou sur la comparaison du produit de deux polynômes indéterminés avec le polynôme diviseur, et sur l’élimination successive des inconnues.

2. Soit, en effet, le polynôme du degré $m$

$x^{m}-ax^{m-1}+bx^{m-2}-cx^{m-3}+\ldots \pm h,$