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que nous supposerons composé des $m$ facteurs simples

$x-\alpha ,\quad x-\beta ,\quad x-\gamma ,\quad x-\delta ,\quad \ldots .$

En développant le produit de ces facteurs et le comparant terme à terme avec le polynôme donné, on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}a=&\alpha \quad \,+\beta \quad +\gamma \quad +\delta \ \ \ +\ldots ,\\b=&\alpha \beta \ \ +\alpha \gamma \ \ +\beta \gamma \ \ +\alpha \delta +\ldots ,\\c=&\alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\beta \gamma \delta +\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h=&\alpha \beta \gamma \delta \ldots .\end{aligned}}$

Si l’on représente de même par

$x^{n}-px^{n-1}+qx^{n-2}-rx^{n-3}+\ldots \pm u$

un diviseur du même polynôme, ce polynôme diviseur ne pourra être composé que d’un nombre $n$ des mêmes facteurs simples ainsi l’on aura, en ne prenant que $n$ quantités parmi les $m$ quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$

${\begin{aligned}p=&\alpha \quad +\beta \quad \,+\gamma \ \ +\ldots ,\\q=&\alpha \beta \ \ +\alpha \gamma \ \ +\beta \gamma +\ldots ,\\r=&\alpha \beta \gamma +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u=&\alpha \beta \gamma \ldots .\end{aligned}}$

Comme les coefficients donnés $a,b,c,\ldots ,h$ sont des fonctions des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ dans lesquelles ces quantités entrent toutes également, et qui demeurent ainsi invariables en faisant entre ces mêmes quantités tels échanges que l’on voudra, il s’ensuit que toute expression rationnelle de ces coefficients aura la même propriété ; et, comme les coefficients $p,q,r,\ldots ,u$ du diviseur sont de semblables fonctions, mais seulement d’un nombre $n$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est évident que ces coefficients ne peuvent pas être exprimés par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots \,;$ mais on pourra les faire dé-