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pendre chacun d’une équation dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de $a,b,c,\ldots$ en composant cette équation de manière qu’elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de $p,$ ou de $q,$ ou de $r,$ etc., dont le nombre est égal au nombre $\mu$ donné ci-dessus.

3. Considérons le dernier coefficient $u,$ qui est formé du produit de $n$ des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ on aura

$\alpha \beta \gamma \ldots ,\quad \beta \gamma \delta \ldots ,\quad \alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots$

pour les différentes valeurs de $u.$ Donc, si l’on forme un polynôme du produit de ces facteurs simples

$u-\alpha \beta \gamma \ldots ,\quad u-\beta \gamma \delta \ldots ,\quad u-\alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots ,$

ce polynôme aura la propriété d’être une fonction invariable de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ indépendamment de l’indéterminée $u\,;$ par conséquent, étant développé, tous ses coefficients auront encore la même propriété.

Car soit ce polynôme

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots \pm \mathrm {V} \,;$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\alpha \beta \gamma \ldots +\beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots +\ldots ,\\\mathrm {B} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots +\beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta +\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {V} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots \times \ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont en effet des fonctions invariables de $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ Or, on sait que ces sortes de fonctions peuvent toujours être déterminées par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots ,h.$

4. En effet, on peut d’abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d’un même degré des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ comme nous l’avons vu dans la Note VI (n^o 1). Ensuite, si l’on multiplie $\Sigma \alpha ^{\lambda },$ somme