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des puissances $\alpha ^{\lambda },$ par $\Sigma \alpha ^{\mu },$ somme des puissances $\alpha ^{\mu },$ le produit $\Sigma \alpha ^{\lambda }\times \Sigma \alpha ^{\mu }$ sera égal à $\Sigma \alpha ^{\lambda +\mu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\,;$ ainsi l’on aura la somme des termes $\alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }$ au moyen de celle des puissances. On trouvera pareillement

$\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\times \Sigma \gamma ^{\nu }=\Sigma \alpha ^{\lambda +\nu }\beta ^{\mu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu +\nu }+\Sigma \alpha ^{\lambda }\beta ^{\mu }\gamma ^{\nu }\,;$

ainsi l’on aura aussi cette dernière somme en fonction des sommes des puissances, et ainsi de suite.

Maintenant il est facile de voir que toute fonction rationnelle et invariable des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ ne peut être formée que d’une ou plusieurs sommes des formes précédentes ; elle pourra donc toujours être déterminée en fonction des coefficients $a,b,c,\ldots .$

C’est là un des principes les plus féconds de la théorie des équations. Newton, et longtemps avant lui Albert Girard, avaient donné la manière de déterminer la somme des puissances des racines d’une équation par des fonctions de ses coefficients. (Voyez, dans l’Ouvrage d’Albert Girard, intitulé Invention nouvelle en Algèbre et imprimé à Amsterdam en 1629, l’exemple second du théorème second.) Euler, dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1748, et Cramer, à la fin de son Introduction à l’analyse des lignes courbes, ont fait voir que l’on pouvait toujours déterminer par les coefficients d’une équation les sommes des produits de ses racines, prises deux à deux, trois à trois, etc., et élevées à différentes puissances, et Waring a donné ensuite des formules générales pour trouver ces sortes de fonctions des racines ; mais, dans les cas particuliers, il est peut-être plus simple d’employer la méthode indiquée ci-dessus.

5. À l’égard des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots \,;$ du polynôme, on pourra les calculer de la manière suivante.

On commencera par déterminer les sommes des puissances par ces formules

${\begin{aligned}\Sigma \alpha \ \,=&a,\\\Sigma \alpha ^{2}=&a\Sigma \alpha \ \,-2b,\\\Sigma \alpha ^{3}=&a\Sigma \alpha ^{2}-b\Sigma \alpha +3c,\\.\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$