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Ensuite on cherchera les termes $n$^ièmes des séries

$\Sigma \alpha =a,\quad \Sigma \alpha \beta =b,\quad \Sigma \alpha \beta \gamma =c,\quad \ldots ,$

${\begin{array}{llll}\Sigma \alpha ^{2},&\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}={\frac {\Sigma \alpha ^{2}\times \Sigma \alpha ^{2}-\Sigma \alpha ^{4}}{2}},&\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}={\frac {\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\times \Sigma \alpha ^{2}-\Sigma \alpha ^{2}\times \Sigma \alpha ^{4}+\Sigma \alpha ^{6}}{3}},&\ldots ,\\\Sigma \alpha ^{3},&\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}={\frac {\Sigma \alpha ^{3}\times \Sigma \alpha ^{3}-\Sigma \alpha ^{6}}{2}},&\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}={\frac {\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\times \Sigma \alpha ^{3}-\Sigma \alpha ^{3}\times \Sigma \alpha ^{6}+\Sigma \alpha ^{9}}{3}},&\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots ,\end{array}}$

Ces termes seront les valeurs des sommes

$\Sigma \alpha \beta \gamma \ldots ,\quad \Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots ,\quad \Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}\ldots ,\quad \ldots .$

Enfin on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\Sigma \alpha \beta \gamma \ldots ,\\\mathrm {B} =&{\frac {\mathrm {A} \Sigma \alpha \beta \gamma \ldots -\Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots }{2}},\\\mathrm {C} =&{\frac {\mathrm {B} \Sigma \alpha \beta \gamma \ldots -\mathrm {A} \Sigma \alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}\ldots +\Sigma \alpha ^{3}\beta ^{3}\gamma ^{3}\ldots }{3}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Au reste il est visible qu’on aura d’abord sans calcul les valeurs du premier coefficient $\mathrm {A}$ et du dernier $\mathrm {V} \,;$ car le coefficient $\mathrm {A}$ est évidemment égal au coefficient de la puissance $x^{m-n}$ dans le polynôme donné

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots .$

Quant au coefficient $\mathrm {V} \,;$ il est visible qu’il doit être de la forme

$\alpha ^{\nu }\beta ^{\nu }\gamma ^{\nu }\delta ^{\nu }\ldots =h^{\nu },$

et, pour déterminer l’exposant $\nu ,$ il suffira de considérer que ce coefficient doit être le produit de $\mu$ quantités, dont chacune est le produit de $n$ quantités prises parmi les $m$ quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ de sorte que ce coefficient sera de la dimension $n\mu \,;$ donc il faudra que $m\nu =n\mu ,$ et par conséquent $\nu ={\frac {\mu n}{m}}.$