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la division actuelle du polynôme

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots$

par le polynôme

$x^{n}-px^{n-1}+\ldots \pm u,$

jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste dans lequel la plus haute puissance de $x$ soit moindre que $x^{n}\,;$ alors, en égalant à zéro chacun des termes de ce reste, pour qu’il devienne nul indépendamment de l’inconnue $x,$ on aura $n$ équations entre les $n$ coefficients $p,q,\ldots ,u,$ et l’on pourra, généralement parlant, par ces équations, déterminer les valeurs de $p,q,\ldots$ en fonctions rationnelles de $u.$ On aurait ensuite l’équation même en $u$ par la substitution de ces valeurs dans l’équation restante ; mais, comme on ne voit pas de cette manière de quel degré devrait être cette équation finale en $u,$ qu’on pourrait même parvenir à une équation en $u$ d’un degré plus haut qu’elle ne devrait être, ce qui est l’inconvénient ordinaire des méthodes d’élimination, nous avons cru devoir montrer comment on peut trouver cette équation a priori et s’assurer du degré précis auquel elle doit monter.

Par la même raison, nous croyons qu’il est nécessaire d’avoir une méthode directe pour trouver les expressions des coefficients $p,q,\ldots$ en $u$ et pour être assuré que ces expressions peuvent toujours être rationnelles, excepté les cas particuliers où elles doivent dépendre d’équations du second ou du troisième degré, comme nous l’avons déjà observé dans la Note précédente. Voici donc comment, en supposant l’équation en $u,$ on peut avoir la valeur des coefficients $p,q,\ldots$ en fonction de $u$.

7. Je considère que, la quantité $x$ étant indéterminée, on peut mettre $x-i$ à la place de $x,$ tant dans le polynôme donné

$x^{m}-ax^{m-1}+\ldots$

que dans le polynôme diviseur

$x^{n}-px^{n-1}+\ldots .$