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Par cette substitution, le premier de ces polynômes deviendra

$x^{m}-a_{1}x^{m-1}+b_{1}x^{m-2}-\ldots \pm h_{1},$

où l’on aura

${\begin{aligned}a_{1}=&a+mi,\\b_{1}=&b+(m-1)ai+{\frac {m(m-1)}{2}}i^{2},\\c_{1}=&c+(m-2)bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h_{1}=&h+gi+fi^{2}+ei^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

et le second polynôme deviendra pareillement

$x^{n}-p_{1}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}-\ldots \pm u_{1},$

en faisant

${\begin{aligned}p_{1}=&p+ni,\\q_{1}=&q+(n-1)pi+{\frac {n(n-1)}{2}}i^{2},\\r_{1}=&r+(n-2)qi+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}pi^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{1}=&u+ti+si^{2}+ri^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

D’où l’on peut conclure que, si dans l’équation en $u$

$u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\ldots \pm \mathrm {V} =0,$

dans laquelle les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ sont des fonctions de $a,b,c,\ldots ,h,$ on substitue respectivement $a_{1},b_{1},c_{1},\ldots ,h_{1}$ au lieu de ces quantités, la valeur de $u$ deviendra celle de $u_{1},$ quelle que soit la valeur de $i,$ de sorte que, en développant les termes suivant les puissances de $i,$ il faudra que la somme de tous les termes multipliés par une même puissance soit nulle, ce qui donnera plusieurs équations, dont chacune servira à déterminer un des coefficients $t,s,r,\ldots$ par les précédents.