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8. On pourra même trouver directement ces équations par l’algorithme des fonctions dérivées. En effet, si l’on met partout ${\frac {i}{m}}$ à la place de $i,$ il s’ensuivra des formules précédentes que, $a$ devenant $a+i,$ $b$ deviendra

$b+{\frac {m-1}{m}}ai+{\frac {m(m-1)}{2m^{2}}}i^{2},$

c deviendra

$c+{\frac {m-2}{m}}bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2m^{2}}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3m^{3}}}i^{3},$

etc., et enfin $u$ deviendra

$u+{\frac {t}{m}}i+{\frac {s}{m^{2}}}i^{2}+{\frac {r}{m^{3}}}i^{3}+\ldots .$

Donc, si l’on regarde, ce qui est permis, les coefficients $b,c,\ldots ,h$ et $u$ comme des fonctions de $a,$ et qu’on se rappelle que, $a$ devenant $a+i,$ toute fonction de $a,$ comme $u,$ devient

$u+iu'+{\frac {i^{2}}{2}}u''+{\frac {i^{3}}{2.3}}u'''+\ldots ,$

on pourra supposer

${\begin{alignedat}{3}b'=&{\frac {m-1}{m}}a,&b''=&{\frac {m(m-1)}{m^{2}}},&b'''=&0,\\c'=&{\frac {m-2}{m}}b,\quad &c''=&{\frac {(m-1)(m-2)}{m^{2}}}a,\quad &c'''=&{\frac {m(m-1)(m-2)}{m^{3}}},\quad c^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\d'=&{\frac {m-3}{m}}c,&d''=&{\frac {(m-2)(m-3)}{m^{2}}}b,&d'''=&{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{m^{3}}}a,\\\end{alignedat}}$

${\begin{aligned}&d^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{m^{4}}},\quad d^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&u'={\frac {t}{m}},\quad u''={\frac {2s}{m^{2}}},\quad u'''={\frac {2.3r}{m^{3}}},\quad \ldots ,\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à prendre les fonctions dérivées successives de l’équation en $u$ et $y$ faire les substitutions précédentes.