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9. Supposons

$\mathrm {Z} =u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots \pm \mathrm {V} ,$

en sorte que $\mathrm {Z} =0$ soit l’équation qui détermine la valeur de $u\,;$ cette quantité $\mathrm {Z} ,$ étant regardée comme une fonction de $a,$ donnera les équations dérivées

$\mathrm {Z} '=0,\quad \mathrm {Z} ''=0,\quad \mathrm {Z} '''=0,\quad \ldots .$

Mais, pour pouvoir distinguer dans ces fonctions ce qui est dû en particulier aux variations des quantités $a,b,c,\ldots ,h$ et $u,$ nous représenterons en général, à l’imitation de ce qu’on pratique dans le calcul qu’on appelle aux différences partielles, par $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right),\ldots$ les coefficients des fonctions dérivées $a',b',c',\ldots$ dans l’expression de $\mathrm {Z} ',$ par $\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right),$$\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right),\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right),\ldots$ les coefficients des quantités $a'^{2},\ a'b',\ b'^{2},\ldots$ dans l’expression générale de $\mathrm {Z} '',$ et ainsi de suite, et nous appellerons de même ces fonctions fonctions dérivées partielles. Lorsque $a$ est la variable principale dont les autres sont ou peuvent être censées fonctions, on aura $a'=1\,;$ mais nous retiendrons la lettre $a'$ sous les lettres $\mathrm {Z',Z''} ,\ldots$ pour représenter en général les coefficients des termes de $\mathrm {Z',Z''} ,\ldots$ qui contiendraient cette même lettre, si $a$ était une fonction quelconque d’une autre variable principale, et pour dénoter par conséquent ce qui est dû en particulier à la variation de $a.$

Cette notation est plus nette et plus expressive que celle que j’ai employée dans la Théorie des fonctions, en plaçant les accents différemment, suivant les différentes variables auxquelles ils se rapportent. En la substituant à celle-ci, l’algorithme des fonctions dérivées conservera tous les avantages du Calcul différentiel, et aura de plus celui de débarrasser les formules de cette multitude de $d$ qui les allongent et les défigurent même en quelque façon, et qui rappellent continuellement à l’esprit l’idée fausse des infiniment petits.

10. On aura ainsi, en regardant toutes les quantités $a,b,c,\ldots ,$,