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$h$ et $u$ comme les fonctions quelconques d’une variable primitive,

$\mathrm {Z} '=\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)b'+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right)c'+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)u',$

et, prenant de nouveau les fonctions dérivées,

${\begin{aligned}\mathrm {Z} ''=&\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)a''+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)b''+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right)c''+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)u''\\&+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right)a'^{2}+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right)a'b'+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right)b'^{2}+\ldots \\&+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'u'}}\right)a'u'+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'u'}}\right)b'u'+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{c'u'}}\right)c'u'+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right)u'^{2},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, faisant

$a'=0,\ \ a''=0,\ \ \ldots ,$

$b'={\frac {m-1}{m}}a,\ \ b''={\frac {m(m-1)}{m^{2}}},\ \ b'''=0,\ \ c'={\frac {m-2}{m}}b,\ \ \ldots ,$

comme nous l’avons trouvé ci-dessus, on aura les équations $\mathrm {Z} '=0,\ \mathrm {Z} ''=0,\ldots ,$ savoir

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right)+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right){\frac {m-1}{m}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right){\frac {m-2}{m}}b+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right){\frac {t}{m}}=0,$

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right)&{\frac {m(m-1)}{m^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {Z} '}{c'}}\right){\frac {(m-1)(m-2)}{m^{2}}}a+\ldots +\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right){\frac {2s}{m^{2}}}\\+&\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right)+2\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right){\frac {m-1}{m}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'^{2}}}\right)\left({\frac {m-1}{m}}a\right)^{2}+\ldots \\+&2\left[\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'u'}}\right){\frac {1}{m}}+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{b'u'}}\right){\frac {m-1}{m^{2}}}a+\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{c'uu'}}\right){\frac {m-2}{m^{2}}}b+\ldots \right]t\\+&\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right){\frac {t^{2}}{m^{2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}=0,$

et ainsi de suite, dans lesquelles les fonctions dérivées partielles

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{a'}}\right),\quad \left({\frac {\mathrm {Z} '}{b'}}\right),\quad \ldots ,\quad \left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'^{2}}}\right),\quad \left({\frac {\mathrm {Z} ''}{a'b'}}\right),\quad \ldots$

seront des fonctions connues de $a,b,c,\ldots ,u.$