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La première équation donnera donc la valeur de $t,$ la seconde donnera celle de $s,$ etc., en fonctions rationnelles de $a,b,c,\ldots ,u,$ à moins que la fonction partielle $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ ne devienne nulle, auquel cas la première équation ne contiendra plus $t,$ ni la seconde $s,$ etc. Dans ce cas donc, il faudra tirer la valeur de $t$ de la seconde équation, dans laquelle $t$ monte au second degré, et les équations suivantes donneront alors les valeurs de $s,r,\ldots$ par des fonctions rationnelles. Si la fonction dérivée $\left({\frac {\mathrm {Z} ''}{u'^{2}}}\right)$ était aussi nulle, l’équation en $t$ ne serait plus que du premier degré, et, si la somme des fonctions qui multiplient $t$ était nulle en même temps, la quantité $t$ disparaîtrait de la seconde équation et ne pourrait être donnée que par la troisième, où elle monterait au troisième degré, et ainsi de suite.

Or, la fonction partielle $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ est égale à

$\mu u^{\mu -1}-(\mu -1)\mathrm {A} u^{\mu -2}+(\mu -2)\mathrm {B} u^{\mu -3}-\ldots ,$

et l’on voit que l’équation

$\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)=0$

renferme les conditions de l’égalité des racines de l’équation

$\mathrm {Z} =0.$

D’où il s’ensuit que, si cette équation a des racines égales, et qu’on emploie pour la valeur de $u$ une des racines égales, en sorte que la fonction $\left({\frac {\mathrm {Z} '}{u'}}\right)$ devienne nulle en même temps que $\mathrm {Z} ,$ le coefficient $t$ dépendra alors d’une équation particulière du second degré, et, par conséquent, tous les autres coefficients du polynôme diviseur dépendront à la fois de la résolution des deux équations en $u$ et en $t.$ Nous en avons donné ci-dessus (Note précédente, n^o 13) la raison métaphysique tirée de l’égalité des racines ; mais on en a ici une démonstration analytique rigoureuse.