11. Une conséquence essentielle qui résulte des formules précédentes, c’est que, tant que la fonction ne sera pas nulle, tous les coefficients seront donnés en fonctions rationnelles du coefficient et que, par conséquent, cela aura lieu nécessairement lorsque l’équation en n’aura point de racines égales, ou du moins lorsqu’on n’emploiera pour la valeur de que des racines inégales.
Or, j’observe qu’on peut toujours faire en sorte que l’équation en n’ait point de racines égales, à moins que le polynôme donné n’ait lui-même des facteurs égaux ; mais, comme on peut éliminer ces facteurs d’avance, on pourra toujours supposer que tous les facteurs de ces polynômes soient inégaux. Cela supposé, si l’on substitue dans ce polynôme à la place de ce qui changera les coefficients en
les facteurs du nouveau polynôme seront
c’est-à-dire que les quantités deviendront
Donc les racines de l’équation en seront tous les produits possibles de quantités prises parmi les quantités et il est clair que deux de ces racines ne sauraient devenir égales, à moins qu’il n’y ait deux produits égaux de deux ou de plusieurs dimensions, formés de ces différentes quantités. Or il est visible que, tant que les quantités, seront inégales, on pourra toujours prendre de manière qu’aucune de ces égalités n’ait lieu ; car, en considérant, par exemple, les deux produits
