en supposant
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&\mathrm {A} ,\\(\mathrm {B} )=&\mathrm {B} -\nu h,\\(\mathrm {C} )=&\mathrm {C} -(\nu -1)h\mathrm {A} ,\\(\mathrm {D} )=&\mathrm {D} -(\nu -2)h\mathrm {B} +{\frac {\nu (\nu -3)}{2}}h^{2},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9962271c0bff95a3bcb279fe5ec18593666c20)
Ensuite on aura
en
par l’équation
![{\displaystyle u^{2}-uy+h=o,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf035010865acd1c44f808e749d43503295b20e)
laquelle donne
![{\displaystyle u={\frac {y+{\sqrt {y^{2}-4h}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482bc28ec52591ccecdd76a7a5bb7cc0d22b942e)
15. Maintenant on voit qu’il suffit de calculer directement la moitié des coefficients
de l’équation en
ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l’exposant
est dans le cas présent un nombre de la forme
étant impair, le nombre
sera impair, et par conséquent l’équation en
aura nécessairement une racine réelle.
Mais, pour que
ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la valeur de
soit réelle, il faut encore que
soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque
a une valeur négative ; ainsi, dans ce cas, le polynôme du degré
est résoluble par deux polynômes réels du degré
Mais, si
a une valeur positive, il faut voir de plus si l’on peut toujours trouver une valeur réelle de
telle que
16. Soit donc
![{\displaystyle y^{2}-4h=z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899e30834f08b2eed2fe2f5b477b289b7524987e)
qu’on substitue, dans l’équation précédente en
au lieu de
on aura, après avoir fait disparaître le radical par l’élévation au carré et ordonné les termes suivant les puissances de
une équation en
du même degré
laquelle aura nécessairement une racine réelle