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en supposant

${\begin{aligned}(\mathrm {A} )=&\mathrm {A} ,\\(\mathrm {B} )=&\mathrm {B} -\nu h,\\(\mathrm {C} )=&\mathrm {C} -(\nu -1)h\mathrm {A} ,\\(\mathrm {D} )=&\mathrm {D} -(\nu -2)h\mathrm {B} +{\frac {\nu (\nu -3)}{2}}h^{2},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ensuite on aura $u$ en $y$ par l’équation

$u^{2}-uy+h=o,$

laquelle donne

$u={\frac {y+{\sqrt {y^{2}-4h}}}{2}}.$

15. Maintenant on voit qu’il suffit de calculer directement la moitié des coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ de l’équation en $u,$ ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l’exposant $\mu$ est dans le cas présent un nombre de la forme $2i,$ $i$ étant impair, le nombre $\nu$ sera impair, et par conséquent l’équation en $y$ aura nécessairement une racine réelle.

Mais, pour que $u$ ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la valeur de $y$ soit réelle, il faut encore que $y^{2}-4h$ soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque $h$ a une valeur négative ; ainsi, dans ce cas, le polynôme du degré $2^{\rho }$ est résoluble par deux polynômes réels du degré $2^{\rho -1}.$ Mais, si $h$ a une valeur positive, il faut voir de plus si l’on peut toujours trouver une valeur réelle de $y,$ telle que $y^{2}>4h.$

16. Soit donc

$y^{2}-4h=z\,;$

qu’on substitue, dans l’équation précédente en $y,$ ${\sqrt {z+4h}}$ au lieu de $y,$ on aura, après avoir fait disparaître le radical par l’élévation au carré et ordonné les termes suivant les puissances de $z,$ une équation en $z$ du même degré $\nu ,$ laquelle aura nécessairement une racine réelle