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positive si son dernier terme est négatif. Or, puisque $\nu$ est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris négativement ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de $z$ est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de $h$ soit positive.

Puisque

$z=y^{2}-4h\quad {\text{et}}\quad y=u+{\frac {h}{u}},$

on aura

$z=u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}-2h=\left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}.$

Or $u$ a pour valeurs tous les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble une moitié des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et nous avons déjà vu que les valeurs de ${\frac {h}{u}}$ sont les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble l’autre moitié des mêmes quantités ; donc les valeurs de $u-{\frac {h}{u}}$ seront deux à deux égales et de signe contraire ; par conséquent, on aura toutes les valeurs différentes de $z$ en ne donnant à $u$ que la moitié de ses différentes valeurs, et il est évident que le produit de toutes les valeurs de $z$ sera positif si le produit des valeurs de $u-{\frac {h}{u}}$ peut être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients $a,b,c,\ldots ,$ car alors son carré sera nécessairement une quantité positive.

S’il n’y a, par exemple, que quatre quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ toutes les valeurs de $u$ seront

$\alpha \beta ,\ \ \alpha \gamma ,\ \ \alpha \delta ,\ \ \beta \gamma ,\ \ \beta \delta ,\ \ \gamma \delta ,$

et les valeurs différentes de $u-{\frac {h}{u}}$ seront, en ne prenant pour $u$ que les trois premiers produits,

$\alpha \beta -\gamma \delta ,\ \ \alpha \gamma -\beta \delta ,\ \ \alpha \delta -\beta \gamma \,;$

le produit de ces trois quantités, étant développé, donne

$\alpha ^{3}\beta \gamma \delta +\alpha \beta ^{3}\gamma \delta +\alpha \beta \gamma ^{3}\delta +\alpha \beta \gamma \delta ^{3}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\delta ^{2}-\alpha ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2},$