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réciproques en même temps entre eux, de sorte qu’il ne peut résulte de ces permutations aucun changement dans le produit

$(\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots .$

Considérons ensuite les échanges de $\alpha$ contre chacune des autres quantités $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots \,;$ il est clair que, en échangeant $\alpha$ en $\beta ,$ celles des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui contiennent à la fois $\alpha$ et $\beta$ ne souffriront aucun changement ; il n’y aura donc à considérer que celles qui ne contiennent point $\beta .$ Or, si $\mathrm {P}$ par exemple ne contient point $\beta ,$ comme les deux produits $\mathrm {P}$ et $p$ contiennent toutes les quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il s’ensuit que $\beta$ sera contenu dans $p,$ et ainsi des autres ; donc, par l’échange de $\alpha$ en $\beta ,$ toute quantité $\mathrm {P}$ ou $\mathrm {Q} ,$ etc., qui ne contiendra point $\beta$ ne pourra que devenir une des réciproques $p,q,r,\ldots ,$ qui sont supposées ne point contenir $\alpha \,;$ ainsi $\mathrm {P}$ deviendra par exemple $q,$ et alors $\mathrm {Q}$ deviendra nécessairement $p\,;$ donc $\mathrm {P} -p$ deviendra $q-\mathrm {Q} ,$ et en même temps $\mathrm {Q} -q$ deviendra $p-\mathrm {P} .$ D’où l’on peut conclure en général que, par les échanges de $\alpha$ en $\beta ,\gamma ,\ldots ,$ les différents facteurs $\mathrm {P} -p,\ \mathrm {Q} -q,\ \mathrm {R} -r,\ \ldots$ ne pourront que rester les mêmes, ou s’échanger entre eux, en changeant en même temps de signe.

18. Maintenant, si l’on cherche le nombre des produits $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui ne changeront pas par l’échange de $\alpha$ en $\beta ,$ ce nombre sera celui de ces produits où $\alpha$ et $\beta$ se trouveront ensemble ; donc, le nombre total des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant $2n$ et le nombre de ces quantités dans chaque produit étant $n,$ le nombre des produits qui contiendront à la fois $\alpha$ et $\beta$ sera celui des combinaisons qu’on peut faire en prenant $n-2$ choses sur $2n-2$ choses ; par conséquent, il sera exprimé par

${\frac {(2n-2)(2n-3)\ldots (n+1)}{1.2\ldots (n-2)}}\,;$

comparant ce nombre au nombre $\nu$ donné ci-dessus, il pourra s’exprimer par

${\frac {\nu (n-1)}{2n-1}}.$