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Or, le nombre total des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ étant $\nu ,$ si l’on en retranche le nombre ${\frac {\nu (n-1)}{2n-1}},$ on aura

${\frac {n\nu }{2n-1}}$

pour le nombre des produits $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ qui, par l’échange de $\alpha$ en $\beta$ se changeront dans les réciproques $p,q,r,\ldots \,;$ par conséquent, ce nombre sera aussi celui des facteurs $\mathrm {P} -p,\ \mathrm {Q} -q,\ \mathrm {R} -r,\ldots ,$ qui changeront de signe par ce même échange ; donc, tant que $n$ sera un nombre pair, et par conséquent tant que l’exposant $m=2n$ sera une puissance de $2$ plus grande que $2,$ le nombre dont il s’agit sera nécessairement pair, d’où il s’ensuit que le produit total

$(\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots$

ne changera pas par l’échange de $\alpha$ en $\beta \,;$ il en sera de même des autres échanges de $\alpha$ en $\gamma ,\delta ,\ldots .$

Donc enfin ce produit sera une fonction invariable des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et pourra, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients $a,b,c,\ldots ,$ du polynôme donné. Donc l’équation en $z$ du degré impair $\nu$ aura son dernier terme négatif ; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (n^o 3).

En prenant cette valeur positive pour $z,$ on aura

$\left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}=z,$

et de là

$u-{\frac {h}{u}}={\sqrt {z}}\,;$

donc

$u^{2}-u{\sqrt {z}}-h=0,$

et de là

$u={\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\pm {\sqrt {{\frac {z}{4}}+h}},$