Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/25

11. Corollaire II. — Si l’équation (B) a un ou plusieurs couples de racines égales, il est clair que l’équation (D) aura une ou plusieurs valeurs de $\upsilon$ égales à zéro ; de sorte qu’elle sera alors divisible une ou plusieurs fois par $\upsilon .$ Cette division faite, lorsqu’elle a lieu, soit l’équation restante disposée à rebours, de cette manière :

(E)

$1+\alpha \upsilon +\beta \upsilon ^{2}+\gamma \upsilon ^{3}+\ldots +\varpi \upsilon ^{r}=0,$

$r$ étant $=$ ou $<n\,;$ qu’on fasse $\upsilon ={\frac {1}{y}},$ et ordonnant l’équation par rapport à $y,$ on aura

(F)

$y^{r}+\alpha y^{r-1}+\beta y^{r-2}+\gamma y^{r-3}+\ldots +\varpi =0.$

Qu’on cherche par les méthodes connues la limite des racines positives de cette équation, et soit $l$ cette limite, en sorte que $l$ surpasse chacune des valeurs positives de $y\,;$ donc ${\frac {1}{l}}$ sera moindre que chacune des valeurs positives de ${\frac {1}{y}}$ ou de $\upsilon \,;$ et par conséquent moindre que chacune des valeurs de $\upsilon ^{2},$ à cause de $\upsilon =u^{2}$ (problème précédent).

Donc ${\frac {1}{\sqrt {l}}}$ sera nécessairement moindre qu’aucune des valeurs de $u,$ c’est-à-dire qu’aucune des différences entre les racines réelles et inégales de l’équation proposée (B).

Donc :

1^o Si ${\sqrt {l}}<1,$ alors on sera sûr que l’équation (B) n’aura pas de racines réelles dont les différences soient moindres que l’unité ; ainsi, dans ce cas, on pourra faire sans scrupule $\Delta =1$ (n^o 6) ;

2^o Mais, si ${\sqrt {l}}=$ ou $>1,$ alors il peut se faire qu’il y ait dans l’équation (B) des racines dont les différences soient moindres que l’unité ; mais, comme la plus petite de ces différences sera toujours nécessairement plus grande que ${\frac {1}{\sqrt {l}}},$ on pourra toujours prendre $\Delta =$ ou $<{\frac {1}{\sqrt {l}}},$ (numéro cité).

En général, soit $k$ le nombre entier qui est égal ou immédiatement plus grand que ${\sqrt {l}},$ et l’on pourra toujours prendre $\Delta ={\frac {1}{k}}.$