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12. Scolie I. — Quant à la manière de trouver la limite des racines d’une équation, la plus commode et la plus exacte est celle de Newton, laquelle consiste à trouver un nombre dont, les racines de l’équation proposée étant diminuées, l’équation résultante n’ait aucune variation de signe, car alors cette équation ne pourra avoir que des racines négatives par conséquent, le nombre dont les racines de la proposée auront été diminuées surpassera nécessairement la plus grande de ces racines.

Ainsi, pour chercher la limite $l$ des racines de l’équation

(F)

$y^{r}+\alpha y^{r-1}+\beta y^{r-2}+\gamma y^{r-3}+\ldots +\varpi =0,$

on y mettra $y+l$ au lieu de $y,$ et ordonnant l’équation résultante par rapport à $y,$ elle deviendra

$\mathrm {P} +\mathrm {Q} y+\mathrm {R} y^{2}+\mathrm {S} y^{3}+\ldots +y^{r}=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&l^{r}+\alpha l^{r-1}+\beta l^{r-2}+\gamma l^{r-3}+\ldots +\varpi ,\\\mathrm {Q} =&rl^{r-1}+(r-1)\alpha l^{r-2}+(r-2)\beta l^{r-3}+\ldots ,\\\mathrm {R} =&{\frac {r(r-1)}{2}}l^{r-2}+{\frac {(r-1)(r-2)}{2}}\alpha l^{r-3}+\ldots ,\\\mathrm {S} =&{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}\alpha l^{r-3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et il n’y aura qu’à chercher une valeur de $l$ qui, étant substituée dans les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ les rende toutes positives ; en commençant par la dernière de ces quantités, laquelle n’aura que deux termes et remontant successivement aux quantités précédentes, on déterminera facilement le plus petit nombre entier qui pourra être pris pour/, et qui sera la limite la plus proche cherchée.

Si l’on voulait éviter tout tâtonnement, il n’y aurait qu’à prendre pour $l$ le plus grand coefficient des termes négatifs de l’équation (F),