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2. On pourrait parvenir plus simplement à cette formule, en tirant la valeur de $p$ de l’équation

$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \,;$

on aurait d’abord

$p=-{\frac {\operatorname {F} (a)}{\operatorname {F} '(a)}}-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\left[{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots \right],$

et l’on substituerait successivement les premières valeurs de $p$ dans les termes qui contiennent $p^{2},p^{3},\ldots \,;$ ou bien on supposerait tout de suite

$p=\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots \,;$

et, égalant à zéro les termes affectés des mêmes puissances de $\operatorname {F} (a),$ ce qui donnera les équations nécessaires pour la détermination des coefficients indéterminés $\mathrm {A,B,C} ,\ldots ,$ on aurait

${\begin{aligned}&\mathrm {A} \operatorname {F} '(a)+1=0,\\&\mathrm {B} \operatorname {F} '(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)=0,\\&\mathrm {C} \operatorname {F} '(a)+\mathrm {AB} \operatorname {F} ''(a)+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\\mathrm {C} =&-{\frac {\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2\operatorname {F} '^{5}(a)}}+{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{2.3\operatorname {F} '^{4}(a)}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la série

$a+\mathrm {A} \operatorname {F} (a)+\mathrm {B} \operatorname {F} ^{2}(a)+\mathrm {C} \operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots$

sera la même que celle qu’on a trouvée ci-dessus ; ce qui prouve la correspondance des deux méthodes.