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3. Mais on peut arriver à ce même résultat par\nue autre méthode plus directe et plus analytique.

La question consiste à tirer de l’équation

$\operatorname {F} (a+p)=0$

la valeur de $p$ en série. Je puis regarder la quantité $a$ comme une fonction d’une autre quantité $\alpha$ et supposer que $a$ devienne $a+p$ lorsque $\alpha$ deviendra $\alpha +i.$ Ainsi, comme $a$ devient en général

$a+ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots$

lorsque $\alpha$ deviendra $\alpha +i,$ on aura

$p=ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots \,;$

comme la quantité $\alpha$ est indétermipée, je puis la supposer telle que l’on ait $\operatorname {F} (a)=\alpha \,;$ alors $\operatorname {F} (a+p)$ deviendra $\alpha +i,$ et l’équation $\operatorname {F} (a+p)=0$ sera $\alpha +i=0,$ laquelle donne sur-le-champ

$i=-\alpha =-\operatorname {F} (a)\,;$

de sorte qu’on aura

$p=-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$

et il n’y aura plus qu’à trouver les valeurs de $a',a'',a''',\ldots .$

Ces valeurs sont les fonctions dérivées de $a,$ considérée comme fonction de $\alpha \,;$ or on a pour la détermination de $\alpha$ en $a$ l’équation $\operatorname {F} (a)=\alpha \,;$ donc, si l’on prend les fonctions dérivées relativement à $\alpha ,$ en regardant $a$ comme la fonction de $\alpha ,$ et qu’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par $\operatorname {F} '(a),\ \operatorname {F} ''(a),$$\operatorname {F} '''(a),\ldots$ les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (a)$ par rapport à $a,$ les fonctions dérivées de $\operatorname {F} (a),\operatorname {F} '(a),\ldots$ relativement à $\alpha$ seront $a'\operatorname {F} '(a),\ a'\operatorname {F} ''(a),\ldots ,$ et l’équation $\operatorname {F} (a)=\alpha$ donnera d’abord $a'\operatorname {F} '(a)=1,$ d’où l’on tire

$a'={\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},$