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et de là, en prenant toujours les fonctions dérivées et substituant cette valeur de $a',$

${\begin{aligned}a''\ =&-{\frac {a'\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{2}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}},\\a'''=&-{\frac {a'\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{3}(a)}}+{\frac {3a'\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}=-{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{\operatorname {F} '^{4}(a)}}+{\frac {3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{\operatorname {F} '^{5}(a)}},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On peut trouver ainsi successivement les valeurs de $a',a'',a''',\ldots$ par lesquelles on pourra continuer aussi loin qu’on voudra la série

$a-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$

qui exprime la valeur de $x$ dans l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ et l’on aura la même série qu’on a trouvée ci-dessus.

Cette formule revient à celle qu’Euler a donnée dans la seconde Partie du Calcul différentiel (Chap. IX, art. 234). On voit par un Mémoire de Courtivron imprimé dans le Volume de l’Académie des Sciences pour l’année 1744, qu’Euler l’avait déjà trouvée à cette époque, et on peut la compter au nombre des découvertes dont il a enrichi l’Analyse. Par la manière dont nous venons de la présenter, elle est une suite naturelle de la théorie du développement des fonctions.

4. Nous allons maintenant rapprocher les résultats précédents de ceux qu’on peut tirer des séries récurrentes. Suivant la méthode exposée dans la Note VI, pour avoir la valeur de la racine $p$ de l’équation

$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,$

il faudrait développer la fraction

${\frac {\operatorname {F} '(a)+p\operatorname {F} ''(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots }{\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\cfrac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+\ldots }}$