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suivant les puissances de $p\,;$ et, si $\mathrm {T} p^{\mu }$ et $\mathrm {V} p^{\mu +1}$ sont deux termes consécutifs, on aura $\mathrm {\frac {T}{V}}$ pour la valeur de $p,$ d’autant plus exacte que ces termes seront plus éloignés du commencementde la série.

Dans la méthode ordinaire, les termes d’une série récurrente se forment les uns d’après les autres ; mais cette manière, qui est très-commode pour le calcul-arithmétique, n’est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficients de l’équation, et il faut pour cela employer d’autres moyens.

5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible, je vais considérer la fonction fractionnaire

${\frac {\varphi (x)}{u-x+f(x)}},$

dans laquelle je suppose que $f(x)$ et $\varphi (x)$ sont des fonctions de $x$ telles que

${\begin{aligned}f(x)=&\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,\\\varphi (x)=&\mathrm {P} +\mathrm {Q} x+\mathrm {R} x^{2}+\mathrm {S} x^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Je représente par

$(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots$

la série résultante du développement de cette fonction suivant les puissances de $x,$ et je me propose de trouver l’expression du coefficient (n) de la puissance $x^{n}.$

Je commence par développer la fonction suivant les puissances de $f(x)\,;$ j’ai la série

${\frac {\varphi (x)}{u-x}}-{\frac {\varphi (x)f(x)}{(u-x)^{2}}}+{\frac {\varphi (x)f^{2}(x)}{(u-x)^{3}}}+\ldots .$

Je considère chacune de ces fractions en particulier, et je cherche les termes multipliés par $x^{n}$ qui peuvent résulter de leur développement.

La fraction ${\frac {1}{u-x}}$ donne la série connue

${\frac {1}{u}}+{\frac {x}{u^{2}}}+{\frac {x^{2}}{u^{3}}}+{\frac {x^{3}}{u^{4}}}+\ldots ,$