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augmenté d’une unité ; car il est facile de prouver qu’en donnant à $l$ cette valeur, les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ seront toujours positives.

Cette manière d’avoir la limite des racines d’une équation quelconque est due, je crois, à Maclaurin ; mais en voici une autre qui donnera le plus souvent des limites plus approchées.

Soient

$-\mu y^{r-m}-\nu y^{r-n}-\varpi y^{r-p}-\ldots$

les termes négatifs de l’équation (F) ; on prendra pour $l$ la somme des deux plus grandes des quantités

${\sqrt[{m}]{\mu }},\ \ {\sqrt[{n}]{\nu }},\ \ {\sqrt[{p}]{\varpi }},\ \ \ldots$

ou un nombre quelconque plus grand que cette somme. Cette proposition peut se démontrer de la même manière que la précédente ; ainsi nous ne nous y arrêterons pas.

Au reste, il faut observer que les limites trouvées de l’une ou de l’autre de ces deux manières seront rarement les plus prochaines limites. Pour en avoir de plus petites, on essayera successivement pour $l$ des nombres moindres, et l’on prendra le plus petit de ceux qui satisferont aux conditions que $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ soient des nombres positifs.

13. Scolie II. — Ayant donc trouvé la limite $l$ de l’équation (F) et pris $k$ égal ou immédiatement plus grand que ${\sqrt {l}},$ on fera $\Delta ={\frac {1}{k}}$ (n^o 11), et l’on substituera successivementdans l’équation proposée, à la place de l’inconnue, les nombres

$0,\ \ {\frac {1}{k}},\ \ {\frac {2}{k}},\ \ {\frac {3}{k}},\ \ \ldots \,;$

les résultats venant de ces substitutions formeront une série dans laquelle il y aura autant de variations de signe que l’équation proposée contiendra de racines réelles positives et inégales, et, de plus, chacune de ces racines se trouvera entre les deux nombres qui auront donné des résultats consécutifs de signes différents ; de sorte que si les nombres