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suivant les puissances de $x,$ pourvu qu’on ait soin de ne retenir que les termes qui contiennent des puissances négatives de $u$.

10. Supposons $\psi (x)=1,$ et par conséquent $\psi (u)=1,\ \Psi (u)=u^{-n-1}\,;$ on aura le terme général $(n)x^{n}$ du développement de la fraction ${\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}.$ Or, si $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ sont les racines de l’équation

$u-x+f(x)=0,$

ce terme sera exprimé par

$\left({\frac {1}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {1}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right)x^{n},$

par ce qu’ona démontré dans la Note VI (n^o 6). On aura donc, en mettant $n$ à la place de $n+1,$

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n}}}+\ldots =$

$u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$

en ne conservant que les puissances négatives de $u$.

11. Soit proposée, par exemple, l’équation

$a-bx+cx^{2}=0,$

dont les racines soient $\alpha$ et $\beta .$

On la divisera par $b$ pour la réduire à la forme $u-x+f(x),$ on aura $f(x)={\frac {cx^{2}}{b}},$ et la valeur de $u$ sera ${\frac {a}{b}}.$ Donc, changeant $x$ en $u$ dans $f(x)$, on aura $f(u)={\frac {cu^{2}}{b}},$ et de là

${\begin{aligned}\left(u^{-n}\right)'f(u)\ \,=&-{\frac {ncu^{-n+1}}{b}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)=&-{\frac {nc^{2}u^{-n+3}}{b^{2}}},\\\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)=&-{\frac {nc^{3}u^{-n+5}}{b^{3}}},\\..\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$