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Donc

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$

$u^{-n}-{\frac {nc}{b}}u^{-n+1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}u^{-n+2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}u^{-n+3}+\ldots ,$

où il n’y aura plus qu’à faire $u={\frac {a}{b}}.$ On aura ainsi

${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}=$

$\left({\frac {b}{a}}\right)^{n}-{\frac {nc}{b}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)c^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)c^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{n-3}+\ldots ,$

en continuant cette série tant qu’il y aura de puissances positives de ${\frac {b}{a}}.$

Si l’on voulait avoir la somme des puissances positives $\alpha ^{n}+\beta ^{n},$ il n’y aurait qu’à considérer l’équation

$ax^{2}-bx+c=0,$

qui résulte de l’équation précédente, en changeant $x$ en ${\frac {1}{x}},$ et dont les racines sont par conséquent ${\frac {1}{\alpha }}$ et ${\frac {1}{\beta }},$ ce qui ne demande que de changer $a$ en $c$ et $c$ en $a.$ On aura donc ainsi

$\alpha ^{n}+\beta ^{n}=$

$\left({\frac {b}{c}}\right)^{n}-{\frac {na}{b}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-1}+{\frac {n(n-3)a^{2}}{2b^{2}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-2}-{\frac {n(n-5)(n-4)a^{3}}{2.3b^{3}}}\left({\frac {b}{c}}\right)^{n-3}+\ldots .$

12. En général, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ étant les racines de l’équation

$u-x+f(x)=0,$

on aura

$u-x+f(x)=k(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots ,$

$k$ étant le coefficient de la plus haute puissance de $x,$ et prenant les fonctions dérivées de part et d’autre,

$-1+f'(x)=$

$k(x-\beta )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\gamma )\ldots +k(x-\alpha )(x-\beta )\ldots +\ldots \,;$

donc, divisant et changeant les signes,

${\frac {1-f'(x)}{u-x+f(x)}}={\frac {1}{(\alpha -x)}}+{\frac {1}{(\beta -x)}}+{\frac {1}{(\gamma -x)}}+\ldots ,$