et, multipliant par 
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}={\frac {\psi (x)}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (x)}{\beta -x}}+{\frac {\psi (x)}{\gamma -x}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b009e548a9109edb0eba405df8cf1b309b559ad)
Or, 
étant supposé une fonction entière de 
on pourra la diviser par 
jusqu’à ce qu’on parvienne à un reste sans et, pour trouver tout de suite ce reste, il n’y a qu’à considérer que 
est divisible par 
le quotient étant une fonction entière de 
et 
que nous désignerons par 
et, si est une fonction du degré 
il est clair que 
sera du degré 
Donc, puisque
on aura
donc
On trouvera de même
et ainsi des autres. Donc, en faisant ees substitutions, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}=&-\operatorname {F} (x,\alpha )-\operatorname {F} (x,\beta )-\operatorname {F} (x,\gamma )-\ldots \\&+{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha -x}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta -x}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma -x}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685fa62a2624e82a06df27ddf04d5ac571bb9066)
En résolvant ces fractions en séries, on aura, après les 
premiers termes, dans lesquels se fondent les parties entières 
une suite régulière dont le terme général sera
![{\displaystyle \left[{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+1}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+1}}}+\ldots \right]x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59df9be6b75cfc987e843f093693cde8347e8718)
de sorte qu’on aura, 
étant 
