C’est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70569454974869cc3548b0001422509ab3b542c)
exprimé par les racines
de l’équation
![{\displaystyle u-x+f(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a229b0f5477dcf1bd2e808adf049be7e549d76c)
En comparant cette expression avec l’expression générale de
en
trouvée ci-dessus et mettant, pour plus de simplicité,
à la place de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots =&\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'\\&+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5d2622bc4cf284d7f8509cfd781b9dec86779b)
où
et où l’on ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de
.
13. Supposons maintenant que l’exposant
soit infiniment grand, en sorte que le terme
auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très-grande distance de l’origine ; on pourra alors regarder la fonction
comme ne contenant que des puissances négatives de
et même toutes les fonctions
comme ne contenant aussi que des puissances négatives de
du moins, cette supposition sera d’autant plus exacte que le nombre
sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n’y aura aucun terme à rejeter dans l’expression de
et l’on pourra regarder la série
![{\displaystyle \Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ad836c39e074ea54fe5f5137415d5076f72e46)
comme allant à l’infini sans aucune interruption.