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14. Or j’observe que toute série de cette forme, dans laquelle $\Psi (u)$ et $f(u)$ sont des fonctions quelconques de $u,$ a cette propriété remarquable que, si on la multiplie par une autre série semblable, dans laquelle, à la place de la fonction $\Psi (u),$ il y ait une autre fonction quelconque $\Pi (u),$ le produit sera encore une série semblable, mais dans laquelle il y aura $\Psi (u)\Pi (u)$ à la place de $\Psi (u).$ En effet, si l’on multiplie ensemble les deux séries

${\begin{aligned}\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\\\Pi (u)+\Pi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Pi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}$

on a

${\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)\right]f(u)\\&+\Psi (u)\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\Psi '(u)\Pi '(u)f^{2}(u)\\&+\Pi (u)\left[{\frac {\psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]',\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or

$\Psi (u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi '(u)=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]',$

${\begin{aligned}\left[{\frac {\Pi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Pi ''(u)f^{2}(u)+\Pi '(u)f(u)f'(u),\\\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'=&{\frac {1}{2}}\Psi ''(u)f^{2}(u)+\Psi '(u)f(u)f'(u)\,;\end{aligned}}$

donc la série devient

${\begin{aligned}\Psi &(u)\Pi (u)+[\Psi (u)\Pi (u)]'f(u)\\&+{\frac {1}{2}}\left[\Psi (u)\Pi ''(u)+2\Psi '(u)\Pi '(u)+\Pi (u)\Psi ''(u)\right]f^{2}(u)\\&+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)f'(u)+\ldots ,\end{aligned}}$

savoir

$\Psi (u)\Pi (u)+\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f(u)+\left\{{\frac {\left[\Psi (u)\Pi (u)\right]'f^{2}(u)}{2}}\right\}'+\ldots .$