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Et l’on trouvera la même chose en poussant la multiplication plus loin et en rassemblant les termes qui contiennent les mêmes dimensions de $f(u)$.

Donc, en général, si l’on dénote par $\left[\Psi (u)\right]$ la série qui contient la fonction $\Psi (u),$ et de même par $\left[\Pi (u)\right]$ la série qui contient $\Pi (u),$ la fonction $f(u)$ demeurant la même dans les deux séries, il résulte de ce que nous venons de trouver que l’on aura

$\left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Psi (u)\Pi (u)\right],$

et, comme cette propriété a lieu quelles que soient les fonctions $\Psi (u)$ et $\Pi (u),$ si l’on fait $\Psi (u)\Pi (u)=\Phi (u),$ on aura

$\left[\Psi (u)\right]\left[\Pi (u)\right]=\left[\Phi (u)\right]\,;$

donc

$\left[\Pi (u)\right]={\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}.$

Mais $\Pi (u)={\frac {\Phi (u)}{\Psi (u)}}\,;$ donc

${\frac {\left[\Phi (u)\right]}{\left[\Psi (u)\right]}}=\left[{\frac {\Phi (u)}{\Psi (u)}}\right],$

c’est-à-dire que le quotient de deux séries semblables, lesquelles contiennent deux fonctions différentes $\Phi (u)$ et $\Psi (u),$ sera aussi une semblable fonction qui contiendra le quotient de ces mêmes, fonctions.

15. Donc, si l’on prend deux nombres très-grands $n$ et $n+r,$ dont la différence $r$ soit un nombre quelconque positif ou négatif, le quotient de la quantité

${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots$

divisée par la quantité

${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n+r}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n+r}}}+\ldots$