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${\frac {h}{k}}$ et ${\frac {h+1}{k}}$ donnent des résultats de signe contraire, il y aura une racine entre ${\frac {h}{k}}$ et ${\frac {h+1}{k}}\,;$ et par conséquent, le nombre entier qui approchera le plus de ${\frac {h}{k}}$ sera la valeur entière approchée de cette racine (n^o 2).

Ainsi l’on connaîtra par ce moyen, non-seulement le nombre des racines positives et inégales de l’équation proposée, mais encore la valeur entière approchée de chacune de ces racine.

Au reste, il est clair que si l’on trouvait un ou plusieurs résultats égaux à zéro, les nombres qui auraient donné ces résultats seraient des racines exactes de l’équation proposée.

Pour faciliter et abréger ce calcul, on fera encore les remarques suivantes :

1^o Si l’on cherche par les méthodes des numéros précédents la limite des racines positives de l’équation proposée, il est clair qu’il sera inutile d’y substituer à la place de l’inconnue des nombres plus grands que cette limite. En effet, il est facile de voir qu’en substituant des nombres plus grands que cette limite, on aura toujours nécessairement des résultats positifs. Ainsi, nommant $\lambda$ la limite dont il s’agit, le nombre des substitutions à faire sera égal à $\lambda k,$ et par conséquent toujours limité.

En général, sans chercher la limite $\lambda ,$ il suffira de pousser les substitutions jusqu’à ce que le premier terme de l’équation ou la somme des premiers termes, s’il y en a plusieurs consécutifs avec le même signe $+,$ soit égale ou plus grande que la somme de tous les termes négatifs ; car il est facile de prouver, par la méthode du n^o 7, qu’en donnant à l’inconnue des valeurs plus grandes, on aura toujours à l’infini des résultats positifs.

2^o Au lieu de substituer à la place de l’inconnue $x$ les fractions ${\frac {1}{k}},{\frac {2}{k}},\ldots ,$ on y mettra d’abord ${\frac {x}{k}}$ à la place de $x,$ ou, ce qui revient au même, on multipliera le coefficient du second terme par $k,$ celui du