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sera exprimé par la série infinie

$\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\ldots ,$

en faisant $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}}$ divisé par ${\frac {\psi (u)}{u^{n+r}}},$ c’est-à-dire $\Psi (u)=u^{r}.$

D’un autre côté, $n$ étant un nombre infiniment grand, il est visible que les deux quantités ci-dessus se réduisent à leurs premiers termes ${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}$ et ${\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n+r}}},$ $\alpha$ étant la plus petite des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ Donc le quotient de la première des quantités divisée par la seconde se réduira à $\alpha ^{r},$ d’où résulte ce théorème très-remarquable :

Si $\alpha$ est la plus petite des racines de l’équation

$u-x+f(x)=0,$

on aura

$\alpha ^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$

$r$ étant un nombre quelconque positif ou négatif.

Ainsi l’on a, par cette formule, non-seulement la racine $\alpha ,$ mais encore une puissance quelconque de la même racine.

16. Si l’on fait maintenant $r=n,$ $n$ étant un nombre fini quelconque, et que l’on compare cette formule avec celle qu’on a donnée plus haut pour la valeur de ${\frac {1}{\alpha ^{n}}}+{\frac {1}{\beta ^{n}}}+{\frac {1}{\gamma ^{n}}}+\ldots ,$ on en tirera la conclusion suivante très-singulière :

Si, dans la formule

$u^{-n}+\left(u^{-n}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{-n}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,$

on ne retient que les termes qui ont des puissances négatives de $u,$ elle donne la valeur de la somme des puissances $-n$ de toutes les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et, si l’on y conserve tous les termes, elle ne donnera que la même puissance de la plus petite racine $\alpha .$