22. Avant de terminer cette Note, je vais faire voir comment la méthode du no 13 pour résoudre par approximation l’équation peut être appliquée à la résolution simultanée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.
Supposons que l’on ait deux équations entre les deux inconnues et que nous désignerons en général par
Supposons en même temps que l’on connaisse déjà deux valeurs approchées et de et , en sorte qu’en faisant les quantités et aient des valeurs fort petites. Il s’agira de tirer ces valeurs des deux équations
Suivant l’esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries ; les deux équations deviendraient ainsi
d’où l’on tire pour première approximation
Ainsi, et étant les premières valeurs approchées de et seront des valeurs plus approchées, qu’on pourra substituer à la place de et dans les fonctions et et, désignant par ces nouvelles valeurs de et on aura et pour les valeurs de et encore plus approchées, et ainsi de suite.
Ce procédé a été donné par Thomas Simpson dans ses Essais sur plusieurs sujets mathématiques, et il est assez commode pour le Calcul