Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/277

22. Avant de terminer cette Note, je vais faire voir comment la méthode du n^o 13 pour résoudre par approximation l’équation $\operatorname {F} (a+p)=0,$ peut être appliquée à la résolution simultanée de plusieurs équations à plusieurs inconnues.

Supposons que l’on ait deux équations entre les deux inconnues $x$ et $y,$ que nous désignerons en général par

$\operatorname {F} (x,y)=0\quad {\text{et}}\quad f(x,y)=0.$

Supposons en même temps que l’on connaisse déjà deux valeurs approchées $a$ et $b$ de $x$ et $y$, en sorte qu’en faisant $x=a+p,\ y=b+q$ les quantités $p$ et $q$ aient des valeurs fort petites. Il s’agira de tirer ces valeurs des deux équations

$\operatorname {F} (a+p,b+q)=0\quad f(a+p,b+q)=0.$

Suivant l’esprit de la méthode de Newton, on développerait les deux fonctions en séries ; les deux équations deviendraient ainsi

${\begin{aligned}\operatorname {F} (a,b)+\mathrm {M} p+\mathrm {N} q+\ldots =&0,\\f\,(a,b)+mp+n\,q+\ldots =&0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire pour première approximation

${\begin{aligned}p=&{\frac {\quad \mathrm {N} f(a,b)-n\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}},\\p=&{\frac {-\mathrm {M} f(a,b)+m\operatorname {F} (a,b)}{\mathrm {M} n-\mathrm {N} m}}.\end{aligned}}$

Ainsi, $a$ et $b$ étant les premières valeurs approchées de $x$ et $y,$ $a+p,\ b+q$ seront des valeurs plus approchées, qu’on pourra substituer à la place de $a$ et $b$ dans les fonctions $p$ et $q\,;$ et, désignant par $p_{1},q_{1}$ ces nouvelles valeurs de $p$ et $q,$ on aura $a+p+p_{1}$ et $b+q+q_{1}$ pour les valeurs de $x$ et $y$ encore plus approchées, et ainsi de suite.

Ce procédé a été donné par Thomas Simpson dans ses Essais sur plusieurs sujets mathématiques, et il est assez commode pour le Calcul