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arithmétique ; mais il serait difficile d’en tirer des expressions de $x$ et $y$ en séries ordonnées suivant les puissances des quantités $\operatorname {F} (a,b)$ et $f(a,b),$ qui expriment les erreurs provenantes des premières suppositions, et surtout d’avoir la loi de ces séries ; voici comment on peut y parvenir.

On regardera les quantités $a$ et $b$ comme des fonctions quelconques de deux autres quantités $\alpha$ et $\beta ,$ de manière que, ces quantités devenant $\alpha +i$ et $\beta +o,$ les quantités $a$ et $b$ deviennent $a+p$ et $b+q\,;$ et l’on supposera que ces fonctions soient telles que $\operatorname {F} (a,b)=\alpha$ et $f(a,b)=\beta ,$ ce qui donnera en mettant $\alpha +i$ et $\beta +o$ au lieu de $\alpha$ et $\beta ,$

$\operatorname {F} (a+p,b+q)=\alpha +i\quad f(a+p,b+q)=\beta +o\,;$

de sorte que les équations proposées deviendront alors

$\alpha +i=0,\quad \beta +o=0,$

d’où l’on tire

$i=-\alpha =-\operatorname {F} (a,b),\quad o=-\beta =-f(a,b).$

Or, en adoptant la notation des fonctions dérivées, indiquée dans la Note précédente (n^o 9), les fonctions $a$ et $b$ des quantités $\alpha$ et $\beta ,$ lorsque ces quantités deviennent $\alpha +i$ et $\beta +o,$ se développent dans les séries

${\begin{aligned}&a+\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots ,\\&b\,+\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)i+\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)o+\left({\frac {b''}{\alpha '^{2}}}\right){\frac {i^{2}}{2}}+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)io+\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right){\frac {o^{2}}{2}}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant $-\operatorname {F} (a,b)$ pour $i$ et $-f(a,b)$ pour $o,$ on aura

${\begin{aligned}p=&-\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {a'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\alpha '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {a''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {a''}{\beta '^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}$