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${\begin{aligned}q=&-\left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)\operatorname {F} (a,b)-\left({\frac {b'}{\beta '}}\right)f(a,b)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta '^{2}}}\right)\operatorname {F} ^{2}(a,b)+\left({\frac {b''}{\alpha '\beta '}}\right)\operatorname {F} (a,b)f(a,b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {b''}{\beta ''^{2}}}\right)f^{2}(a,b)+\ldots ,\end{aligned}}$

où il n’y aura plus qu’à substituer les valeurs des fonctions partielles $\left({\frac {a'}{\alpha '}}\right),\ \left({\frac {a'}{\beta '}}\right),\ \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right),\ldots$ qu’on tirera des équations

$\operatorname {F} (a,b)=\alpha \quad {\text{et}}\quad f(a,b)=\beta ,$

en prenant successivement les fonctions dérivées relativement à $\alpha$ et $\beta ,$ et substituant à mesure les valeurs déjà trouvées dans les suivantes.

Ainsi l’on aura d’abord

${\begin{alignedat}{2}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&1,\qquad &\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&0,&\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&1.\end{alignedat}}$

Mais on a en général, relativement à $a$ et $b,$

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(a,b)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)b',\\f'(a,b)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)a'+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)b'\,;\end{aligned}}$

donc, en regardant $a$ et $b$ comme fonctions de $\alpha$ et $\beta ,$ on aura, relativement à chacune de ces quantités en particulier,

${\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=1,\\\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {\operatorname {F} '(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\alpha '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\alpha '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\alpha '}}\right)=0,\\\left({\frac {f'(a,b)}{\beta '}}\right)=&\left({\frac {f'(a,b)}{a'}}\right)\cdot \left({\frac {a'}{\beta '}}\right)+\left({\frac {f'(a,b)}{b'}}\right)\cdot \left({\frac {b'}{\beta '}}\right)=1,\end{aligned}}$